三角形の比の問題を簡単に解いて10点UPする方法~ちょっとズルいのでは!?

はじめに

いきなりですが、センター数学Aでよく出るこんな問題、解けますか?

[問] 三角形ABCがある。辺BC上にBD:DC=1:1となるような点Dをとり、辺CA上にCE:EA=2:3となるような点Eをとる。 線分AD、BEの交点をOとし、直線COと辺ABの交点をFとする。 このとき、CO:OFを求めよ。

答えは後程…

この手の問題は、チェバの定理メネラウスの定理を完璧に覚えていれば、結構簡単に解けます。

しかしこれらの定理、なんとも美しくないといいますか、理解しがたいといいますか、覚えにくいんです。 中途半端に覚えていると、分子分母が逆になってしまったりと、ちょっとした記憶違いがあったりして、えらいことになります。

でも、この程度の問題であれば、チェバさんにもメネラウスさんにもお世話にならずに、ちょっとした計算で解けてしまうのです。 しかも、深く納得しながら解けるので、間違いもありません。 時間もかかりません→他の問題に時間を回せます。

これから、その技を伝授したいと思います。

新しいことを覚えるのは少々面倒かもしれませんが、難しいことは何一つない上に、とてもイメージしやすい内容なので、必ずマスターできます。 30分だけでいいので、真剣にお付き合いください。

余談ですが、この技は、私「べっち」が高校時代に独自に編み出した解法で、教科書、参考書などには載っていません。 実際この技を使って、チェバさんにもメネラウスさんにもお世話にならず、センター試験の模擬テスト(当時は数II)で満点を連発しました。

残念ながら本番は96点でしたが(涙)

なので、実用性は十分、威力莫大と考えています。

三角形の重心とは

三角形の重心は、中学の時に習いました。

三角形の頂点と、その対辺の中点を結ぶ3つの線は1点で交わり、その点は各中線を2:1に内分する。 頂点とその対辺の中点を結ぶ線のことを中線といい、この点のことを三角形の重心という。

下記図の通りですね。

重心とは重さの中心、つまり三角形のプレートの重心を支えれば、指一本でも、鉛筆の先でも、バランスを保てるということなのだろうと思われます。 どうしてその場所が重心なのか? これを考え、ちょっと応用すると、驚くほどいろんなことが見えてくるのです!

どうしてそこが重心か?

本当にそれでいいの?というのは抜きにして(笑)こう考えることができると思います。

三角形のプレートだと考えにくいので、粘土(頂点)と竹ひご(辺)で作った三角形を考えることにします。 ただし、条件がありまして、粘土はすべて同じ重さ(重さ=1とする)、竹ひごは重さがないものとします。 この3つの粘土の重さの中心が重心であります。

では、この3つの粘土の重さの中心はどこか? まずは、B、Cだけで考えます。

そうすると、BCの中点Dが、BとCの粘土の重さの中心ですね。 Dを支えれば、B、Cはつり合うわけです。 ちなみにこの点Dには、BとCの重さを足した、2の重さがかかっています。

さらに点Aも考えます。 3つの粘土の重さの中心は、Dにかかる重さと、Aの粘土の重さの中心と考えられます。

そうするとこの通り、ADを2:1に分ける点ですね。 ちなみにこの点には、AとBとCの重さを足した、3の重さがかかっています。 うーん、スッキリですね。

バランスを崩してみる

そうすると、意地悪な人は、粘土の重さをバラバラにしたらどうなるか? 試してみたくなるわけです。

粘土の重さをバラバラ…これが驚くべき発見へとつながるのです。 (大げさ)

重さがゆがんだ三角形

粘土の重さを1、2、3としてみました。

こんな感じですね。

では、この3つの粘土の重さの中心はどこか? まずは先ほどと同様に、B、Cだけで考えます。

そうすると、BCを3:2に分ける点Dが、BとCの粘土の重さの中心ですね。 Dを支えれば、B、Cはつり合うわけです。 ちなみにこの点Dには、BとCの重さを足した、5の重さがかかっています。

さらに点Aも考えます。 3つの粘土の重さの中心は、Dにかかる重さと、Aの粘土の重さの中心と考えられます。

そうするとこの通り、ADを5:1に分ける点ですね。 ちなみにこの点には、AとBとCの重さを足した、6の重さがかかっています。 ここまで、いかがですか?

別の求め方

「まずはB、Cだけで考えます。」

いやいや、まずはA、Cだけで考えたっていいじゃない?

そうすると、ACを3:1に分ける点Eが、AとCの粘土の重さの中心ですね。 Eを支えれば、A、Cはつり合うわけです。 ちなみにこの点Eには、AとCの重さを足した、4の重さがかかっています。

さらに点Bも考えます。 3つの粘土の重さの中心は、Eにかかる重さと、Bの粘土の重さの中心と考えられます。

そうするとこの通り、BEを4:2つまり2:1に分ける点ですね。 ちなみにこの点には、AとBとCの重さを足した、6の重さがかかっています。 あれ?

重ねてみる

2つの求め方で求めた重さの中心、これって同じ点になりますよね? ということで、2つの求め方を重ねてみます。

おーーー!

そういえば、初めにA、Bだけ考えても、同様に求められますよね。 その結果と粘土の絵を全部重ねてみます!

こ、これは…。 まさにチェバさんとメネラウスさんの功績ではないですか!

つまり、粘土の重ささえわかれば、チェバさんにもメネラウスさんにも世話にならずに、何でも来いというわけなんです。

ついでに

なんで?というのは抜きにして、ここまでわかってしまうのです。

さらに内側の三角形DEFのところの比も全部わかっちゃいますが、まあここまででいいでしょう。

証明できますが、ここでは省略!

例題を解いてみる

さて、ここまで習得した技を使って、冒頭の問題が解けるか確認してみましょう。

[問] 三角形ABCがある。辺BC上にBD:DC=1:1となるような点Dをとり、辺CA上にCE:EA=2:3となるような点Eをとる。 線分AD、BEの交点をOとし、直線COと辺ABの交点をFとする。 このとき、CO:OFを求めよ。

わかっている情報を図に書き込んでみます。

やるべきことは、三角形各頂点の粘土の重さを求めることなのです。 重要な部分なので、丁寧にやっていきます。 慣れれば、ちょちょいのちょいとできてしまいます。

まずは、辺BCだけに注目するとこうなります。 BとCの粘土の重さは1:1、同じ重さですね。

次に、辺CAだけに注目するとこうなります。 CとAの粘土の重さは3:2です。

では、これらを重ねてみます。

Cは、1と3になってしまいましたね。 1つの比にまとめたいので、Cを1, 3の最小公倍数である3にします。 するとAはそのまま2、Bは3倍の3になり、結果的にこうなります。

ここまでできれば、もう全部わかっちゃいます。

さらに、こんなこともわかっちゃいます。

…そういえば問題はなんでしたっけ? あ、CO:OFね。 はい、CO:OF=5:3。 以上!

微妙に違うパターン

粘土の重さの求め方で、頂点以外から求まるパターンもあるので、念のため説明しておきます。 難しい話ではないです。

例えばこんなパターンですね。

とりあえず、粘土の重さの比 A:C、C:F を求めてみます。

Cは、2と3になってしまいましたね。 1つの比にまとめたいので、Cを2, 3の最小公倍数である6にします。 すると、こうなります。

ここでワンポイント。 AとBの粘土の重さを足すと、Fの粘土の重さになるので、Aの粘土の重さは1とわかります。

あとはもう同じですね!